Spojitost funkce Martina Šimůnková, 11. ledna 2015 Učební text k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL 1 Spojitost a nepřímé měření Představme si situaci, že máme k dispozici přístroj, který nám umožní změřit veličinu x s libovolně malou nepřesností δ. Nás přitom nezajímá veličina x, ale veličina y svázaná s veličinou x funkcí f: y = f(x) a chceme získat veličinu y s odchylkou nepřevyšující zadané číslo ε > 0. Naším úkolem pak je nastavit vhodně δ, změřit x a vypočíst y = f(x). Rozeberme si, co znamenají výše uvedené obraty změřit veličinu x s libovolně malou nepřesností δ, chceme získat veličinu y s odchylkou nepřevyšující zadané číslo ε > 0. Označíme-li nám neznámou přesnou hodnotu x, tak po volbě δ > 0 nám přístroj vydá naměřenou hodnotu ˆx o které víme ˆx ( x δ, x+δ). (1) My hodnotu ˆx dosadíme do funkce f a vypočteme hodnotu ŷ = f(ˆx). Ta se bude lišit od přesné hodnoty ȳ = f( x) o ŷ ȳ a my chceme, aby platilo Nejdříve si uvědomme, že (1) můžeme zapsat jako a (2) jako ŷ ȳ < ε. (2) ˆx x < δ nebo jako x (ˆx δ,ˆx+δ). ŷ (ȳ ε,ȳ +ε) nebo jako ȳ (ŷ ε,ŷ +ε). Úspěšnost měření záleží na tom, zda pro zadané ε > 0 je možné zvolit δ > 0 takové, že pro (všechna) x platí implikace x ( x δ, x+δ) f(x) (f( x) ε,f( x)+ε). Funkci f, která toto umožňuje pro libovolně malé ε > 0 nazýváme spojitou v bodě x. Formální definice: Funkci f nazveme spojitou v bodě x, pokud ε > 0 δ > 0 x ( x δ, x+δ) : f(x) (f( x) ε,f( x)+ε). (3) 2 Spojitost a aproximace funkce konstantní funkcí Další náhled na spojitost je přes aproximaci funkce f konstantní funkcí na okolí bodu x 0 a přes otázku nepřesnosti spojené s touto aproximací. Definujme nejprve δ-okolí bodu x 0 jako interval (x 0 δ,x 0 + δ). Toto okolí budeme značit symbolem U δ (x 0 )nebosymbolem U(x 0,δ).Pokudpronáshodnotaδ nebudepodstatná,budeme mluvit o okolí bodu x 0 a značit jej U(x 0 ). Poznamenejme ještě, že někdy (v některé literatuře) se pod okolím bodu x 0 rozumí každý otevřený interval obsahující bod x 0 nebo dokonce každá množina, která je nadmnožinou intervalu (x 0 δ,x 0 +δ) pro nějaké kladné δ. 1
Pokud budeme pracovat se dvěma okolími bodu x 0 a nebudeme chtít označovat jejich rozměry, označíme okolí U(x 0 ) a V(x 0 ) případně pomocí indexů U 1 (x 0 ), U 2 (x 0 )... Nahrad me (tj. aproximujme) na δ-okolí bodux 0 funkci f konstantou f(x 0 ) a ptejme se, jaké nepřesnosti jsme setímto nahrazením dopustili. Vboděx U δ (x 0 )jsme sedopustili nepřesnosti f(x) f(x 0 ). Zadá-li nám někdo ε > 0 a požaduje, abychom se aproximací dopustili nepřesnosti nepřesahující ε, je opět otázka existence takové aproximace otázkou existence δ > 0 splňujícího x U δ (x 0 ) : f(x) U ε (f(x 0 )). Poznamenejme ještě, že (3) můžeme pomocí pojmu okolí přepsat na ε > 0 δ > 0 x U δ ( x) : f(x) U ε (f( x)), (4) Pomocí obrazu intervalu ve funkci f lze dále napsat (4) jako ε > 0 δ > 0 : f(u δ ( x)) U ε (f( x)). (5) Je dobré si uvědomit, že v (5) nejsou podstatné rozměry δ, ε ale okolí a kvantifikátory. Pak lze (5) napsat jako U(f( x)) U( x) : f(u( x)) U (f( x)). (6) 3 Základní poznatky o spojitosti Shrneme základní definice a poznatky a budeme se odkazovat na text Jiřího Veselého: Základy matematické analýzy [JV]. Definice 4.2.1 spojitosti funkce v bodě [JV]. Poznámky 4.2.2 a 4.2.3 ke spojitosti funkce v bodě [JV]. Lemma 4.2.4 o lokální omezenosti spojité funkce [JV]. Lemma o lokální kladnosti a lokální omezenosti převrácené hodnoty. Necht je funkce f spojitá v bodě x 0 R a necht má v x 0 kladnou hodnotu. Potom existuje takové okolí U(x 0 ), na kterém f nabývá kladných hodnot a funkce g = 1/f je na tomto okolí omezená. Důkaz: V definici spojitosti zvolíme ε = f(x 0). Pak je 2 ( ) U(f(x 0 ),ε) = f(x0 ), 3f(x 0) 2 2 a na odpovídajícím δ-okolí je f(x) > f(x 0) 2 (> 0) a < g(x) < 2 2 3f(x 0 ) f(x 0. Lze jej tedy zvolit jako ) hledané okolí. (Nakreslete si obrázek!) Poznámka: Obdobné lemma platí i pro případ funkce spojité a záporné v bodě x 0. Rozmyslete si podrobně a načrtněte si obrázek! Příklad 4.2.5 o spojitosti konstantní funkce a identity [JV]. Lemma 4.2.10 o spojitosti součtu a rozdílu spojitých funkcí [JV]. Definice 4.2.19 spojitosti funkce v otevřeném intervalu [JV]. 2
4 Graf funkce a spojitost V této kapitole zhodnotíme intuitivní představu, která říká, že spojitá je taková funkce, jejíž graf nakreslíme jedním tahem. Ukážeme, že tato představa není přesná. 4.1 Nespojitost typu skoku Nejdříve uved me třídu nespojitých funkcí, kterou naše představa charakterizuje dobře. Je to třída, kterou budeme později, až zavedeme pojem limity, nazývat nespojitostí typu skoku. Uvažujme funkci a její graf { x pro x 1 f(x) = 3 x pro x > 1 K ukázání, že funkce f není spojitá v bodě x = 1, stačí zvolit ε = 0.5. f(1)+ε f(1) ε 1+δ Zvolíme-li libovolně malé δ > 0, obsahuje množina f(u(1,δ)) hodnoty z intervalu (2 δ,2), a tedy f(u(1,δ)) U(f(1),0.5). 4.2 Spojitá funkce, jejíž graf nenakreslíte jedním tahem Uvažujme funkci f a její graf f(x) = { x sin 1 x pro x 0 0 pro x = 0 Její hodnoty v okolí bodu x = 0 oscilují mezi x a x a funkce se v libovolně malém okolí nuly změní nekonečněkrát z rostoucí na klesající. Ukažme, že f je spojitá v počátku. Zvolme δ = ε a x U(0,δ). Pak je a tedy f(x) U(f(0),ε). f(x) f(0) = x sin 1 x < δ = ε, x 5 Pomocná tvrzení Důkazy následujících tvrzení si proved te jako cvičení 3
1. x R : x x x Návod: není nutný pro toho, kdo ví, jak se odstraňuje absolutní hodnota. Stačí uvažovat zvlášt x 0 a x < 0. 2. Tady snad návod není nutný. x R : x = x 3. 4. x R : x = max{x, x} Návod: Uvažujte postupně x 0 a x < 0. a,b,c R : [(a c) (b c)] max{a,b} c Návod: Jaké hodnoty může nabývat max{a, b}? 5. x,y R : x+y x + y Návod: k odstranění absolutních hodnot rozdělte rovinu xy přímkami x = 0, y = 0, x+y = 0 a v každé části odstraňte absolutní hodnoty ve výrazech na levé i pravé straně a ukažte, že na příslušné části roviny nerovnost platí. Alternativa: stačí uvažovat pouze části v polorovině x+y 0 a pro ostatní dosadit do nerovnosti x za x a y za y a použít 2. Další alternativa: použijte druhou nerovnost z 1. pro x i y, tyto nerovnosti sečtěte a dostanete platnost 5. na polorovině x+y 0. 6. x,y R : x y x+y Návod: můžete postupovat obdobně jako v 5., nebo můžete použít 5.: (x+y)+( y) x+y + y, odkud po úpravě dostanete x y x+y. Podobně nebo argumentem o symetrii dostanete y x x+y a použijete 3., 4. 7. 8. x,y R : x y x + y Návod: v 5. zaměňte y za y a použijte 2. x,y R : x y x y Návod: přečtěte si návod k 7. 4
9. Návod pro 9. 11.: vhodně použijte 5. f(x),g(x),f(x 0 ),g(x 0 ) R : (f(x)+g(x)) (f(x 0 )+g(x 0 )) f(x) f(x 0 ) + g(x) g(x 0 ) 10. f(x),g(x),f(x 0 ),g(x 0 ) R : (f(x) g(x)) (f(x 0 ) g(x 0 )) f(x) f(x 0 ) + g(x) g(x 0 ) 11. f(x),g(x),f(x 0 ),g(x 0 ) R : f(x)g(x) f(x 0 )g(x 0 ) g(x) f(x) f(x 0 ) + f(x 0 ) g(x) g(x 0 ) Návod: nejdříve uvažte, že f(x)g(x) f(x 0 )g(x 0 ) = g(x)(f(x) f(x 0 ))+f(x 0 )(g(x) g(x 0 )) 12. 13. f(x),f(x 0 ) R\{0} : 1 f(x) 1 f(x 0 ) = f(x) f(x 0) f(x) f(x 0 ) f(x),f(x 0 ) R : f(x) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) Návod: použijte 6. 14. Pro zadané body x,x 0 R a číslo δ > 0 jsou ekvivalentní výroky: x x 0 < δ x U(x 0,δ) x 0 U(x,δ) Návod: uvědomte si, že absolutní hodnota rozdílu dvou čísel je vzdálenost jejich obrazů na číselné ose. 15. Podobně jako v 14. jsou pro zadanou funkci f, body x,x 0 D f a číslo ε > 0 ekvivalentní výroky f(x) f(x 0 ) < ε f(x) U(f(x 0 ),ε) f(x 0 ) U(f(x),ε) 16. Mají-li všechna x U(x 0,δ 1 ) vlastnost 1 a všechna x U(x 0,δ 2 ) vlastnost 2, pak mají všechna x U(x 0,min{δ 1,δ 2 }) obě vlastnosti. Podobně pro více vlastností. Návod: uvědomte si, že pro δ a δ b je U(x 0,δ a ) U(x 0,δ b ). Nakreslete si obrázek! 17. Platí-li x U(x 0,δ) : f(x) U(f(x 0 ),ε) pro nějakou dvojici δ > 0, ε > 0, pak platí i pro dvojice δ 1, ε, kde δ 1 δ a pro dvojice δ, ε 1, kde ε 1 ε. Jinými slovy: 17. nepřestane platit, pokud zmenšíme okolí bodu x 0 nebo zvětšíme okolí bodu f(x 0 ). Návod: Nakreslete obrázek. 5
18. Výrok 17. lze ekvivalentně vyjádřit jako implikaci x R : x U(x 0,δ) f(x) U(f(x 0 ),ε) 19. Připomeňme, že množinu M nazveme omezenou, pokud K 1,K 2 R x M : K 1 x K 2. (7) Ukažte, že (7) je ekvivalentní s následující podmínkou: K R x M : x K. 20. Připomeňme si, že obraz množiny A v zobrazení f je množina hodnot f(x), kde x A. Symbolicky f(a) = {f(x) : x A} nebo též f(a) = {y : ( x A : y = f(x))}. Ukažte, že platí: A B f(a) f(b). 21. Složenou funkci značíme symbolem : (f g)(x) = f(g(x)). Stejné značení používáme i pro zobrazování množin, tedy (f g)(a) = f(g(a)). 6 Věty o spojitosti Věta 4.2.13 [JV] Necht f, g jsou funkce spojité v bodě x 0 R. Potom i f ±g, f g, f jsou spojité v bodě x 0. Je-li g(x 0 ) 0, pak i f/g je spojitá v bodě x 0. Důkaz: Tvrzení pro součet a rozdíl je dokázáno v lemmatu 4.2.10 v kapitole 3. Abychom dokázali tvrzení pro součin, je třeba pro ε > 0 ukázat existenci okolí U(x 0 ), na němž je f(x)g(x) f(x 0 )g(x 0 ) < ε, (8) přitom máme pro ˆε > 0 zaručenu existenci okolí U 1 (x 0 ), případně U 2 (x 0 ), na nichž je f(x) f(x 0 ) < ˆε, případně g(x) g(x 0 ) < ˆε. Na funkci g použijeme lemma o lokální omezenosti spojité funkce z kapitoly 3: Dále použijeme vztah 11 z kapitoly 5: existuje U 3 (x 0 ), na němž je g omezená, tedy K R x U 3 (x 0 ) : g(x) K. f(x)g(x) f(x 0 )g(x 0 ) g(x) f(x) f(x 0 ) + f(x 0 ) g(x) g(x 0 ), do nějž dosadíme výše uvedené horní odhady výrazů g(x), f(x) f(x 0 ), g(x) g(x 0 ) a dostaneme vztah platný na průniku tří okolí U 1 (x 0 ), U 2 (x 0 ), U 3 (x 0 ): f(x)g(x) f(x 0 )g(x 0 ) < Kˆε+ f(x 0 ) ˆε. Nyní stačí položit ˆε = ε/(k + f(x 0 ) ) a konstatovat, že na průniku třech okolí platí (8). Kontrolní otázky: Je průnik tří okolí okolím? Je ˆε > 0? Jak se vyrovnáte s případem K + f(x 0 ) = 0? 6
Důkaz pro podíl: dokážeme spojitost funkce 1/g a použijeme právě dokázanou spojitost součinu f 1/g. Je třeba ukázat pro ε > 0 existenci okolí U(x 0 ), na němž je 1 g(x) 1 g(x 0 ) < ε. Upravíme 1 g(x) 1 g(x 0 ) = g(x) g(x 0) g(x) g(x 0 ), použijeme spojitost funkce g v bodě x 0, tedy existenci okolí U 1 (x 0 ), na němž platí g(x) g(x 0 ) < ˆε, omezenost 1/g na okolí U 2 (x 0 ) (lemma o lokální kladnosti a lokální omezenosti převrácené hodnoty v kapitole 3) a dostaneme pro x z průniku obou okolí 1 g(x) 1 g(x 0 ) < ˆεK 1 g(x 0 ). Nyní stačí zvolit ˆε = ε g(x 0) K Formulujte a zodpovězte kontrolní otázky obdobné těm za důkazem spojitosti součinu. Důkaz spojitosti f je přímočarý. Použijte 13. z kapitoly 5. Poznámka 4.2.14 o spojitosti polynomiálních funkcí (tj. funkcí, jejichž funkční hodnota je dána mnohočlenem) [JV]. Příklad 4.3.18 o spojitosti odmocniny [JV]. K důkazu použijeme vztah (identitu) a n b n = (a b)(a n 1 +a n 2 b+a n 3 b 2 + +b n 1 ), kterou přepíšeme pro a,b > 0 na a b = a n b n a n 1 +a n 2 b+a n 3 b 2 + +b n 1. (9) Necht je dán bod x 0 > 0 a n N, n 2. Pak pro x (0,2x 0 ) = U(x 0,x 0 ) dostaneme dosazením a = n x, b = n x 0 do (9): n x n x 0 = x x 0. x (n 1)/n +x (n 2)/n x 1/n 0 + +x (n 1)/n 0 Odtud plyne n x n x x 0 x 0 =, x (n 1)/n +x (n 2)/n x 1/n 0 + +x (n 1)/n 0 odkud zanedbáním kladných členů ve jmenovateli dostaneme nerovnost Odtud pro x U(x 0,δ) U(x 0,x 0 ) dostaneme n x n x 0 < x x 0. n x n x 0 < 7 x (n 1)/n 0 δ x (n 1)/n 0.
Tím jsme dokázali, že pro ε > 0 existuje U(x 0 ) = U(x 0,εx (n 1)/n 0 ) U(x 0,x 0 ) takové, že pro x U(x 0 ) platí n x U( n x 0,ε), a tedy, že n-tá odmocnina je funkce spojitá v bodě x 0. Poznámka 4.2.15, příklad 4.2.16 a označení 4.2.17 o skládání funkcí [JV]. Věta 4.2.18 o spojitosti složené funkce Necht g je funkce spojitá v bodě x 0 R, f funkce spojitá v bodě g(x 0 ). Potom je funkce f g spojitá v bodě x 0. Důkaz:Prozmenšeníabstrakcenásledujícíchúvahsinakresletegraffunkcef sbodem[x 0,f(x 0 )], a na ose y vyznačte okolí U 1 (f(x 0 )) a na ose x okolí U 2 (x 0 ) pro něž platí f(u 2 (x 0 )) U 1 (f(x 0 )). (10) Podobně nakreslete graf funkce g s bodem [f(x 0 ),g(f(x 0 ))], s okolím U 3 (g(f(x 0 ))) na ose y a s okolím U 1 (f(x 0 )) na ose x. Přitom zase tak, aby platilo g(u 1 (f(x 0 )) U 3 (g(f(x 0 ))). (11) Chceme ukázat, že složená funkce g f je spojitá v bodě x 0, tedy, že ke každému okolí U(g(f(x 0 ))) bodu g(f(x 0 )) existuje okolí U(x 0 ), pro které platí (g f)(u(x 0 )) U((g f)(x 0 )). Máme tedy okolí U 3 (g(f(x 0 ))), k němu víme, že vzhledem ke spojitosti funkce g existuje okolí U 1 (f(x 0 )) splňující (11). K okolí U 1 (f(x 0 )) existuje vzhledem ke spojitosti funkce f okolí U 2 (x 0 ) splňující (10). Z (10) a z 21. z kapitoly 5 plyne Vztahy (11), (12) spolu s tranzitivitou inkluze dají g(f(u 2 (x 0 ))) g(u 1 (f(x 0 ))). (12) g(f(u 2 (x 0 ))) U 3 (g(f(x 0 ))), tedy vztah požadovaný k důkazu spojitosti funkce g f. 7 Vlastnosti spojitých funkcí na uzavřeném intervalu Definice jednostranné spojitosti. Pravým (případně levým) δ-okolím bodu x 0 nazýváme interval (x 0,x 0 +δ) (případně (x 0 δ,x 0 )). Funkci f nazveme spojitou zprava (případně zleva) v bodě x 0, pokud ε > 0 existuje pravé (případně levé) okolí bodu x 0, na němž platí f(x) f(x 0 ) < ε. Definice 4.3.26 funkce spojité na uzavřeném intervalu [JV]. Poznámka 4.3.30 o lineárním (vektorovém) prostoru spojitých funkcí na intervalu [JV]. Věta 4.3.31 o nabývání extrémů spojité funkce na uzavřeném omezeném intervalu (Weierstrass 1861) [JV]. Bez důkazu. Poznámka: Oba předpoklady ve větě jsou podstatné. Uved te příklad spojité funkce na intervalu a nespojité funkce na uzavřeném omezeném intervalu, které nenabývají extrémů. 8
Věta 4.3.32 o kořenu spojité funkce (Bolzano 1817) [JV]. Hlavní myšlenka důkazu. TODO Věta 4.3.34 o nabývání mezihodnot spojité funkce [JV]. Důkaz. viz [JV]. Definice 4.3.35 Darbouxovy vlastnosti [JV]. Věta 4.3.36 (Cauchy 1821) o Darbouxově vlastnosti spojitých funkcí [JV]. Důkaz. viz [JV]. Věta 4.3.37 (Bolzano 1817) o obrazu intervalu ve spojité funkci [JV] jiná formulace věty 4.3.34. Důsledek věty 4.3.32 o řešení nerovnic. Necht je funkce f spojitá na intervalu I = (a,b), f nemá na I kořen a necht x 0 I. Pak platí Je-li f(x 0 ) > 0, platí: x (a,b) : f(x) > 0 Je-li f(x 0 ) < 0, platí: x (a,b) : f(x) < 0 Důkaz. Pro x = x 0 je tvrzení zřejmé. Pro x x 0 platí f(x) 0 a platnost f(x)f(x 0 ) < 0 vede ke sporu s větou 4.3.32 a neexistencí kořenu na I. Odtud plyne platnost dokazovaného tvrzení. Použití věty vysvětlíme na nerovnici log 10 x+7 2 x 1. Nejdříve určíme definiční obor nerovnice vyjde x ( 7,2). Dále vyřešíme rovnici, dostaneme jeden kořen: x = 13. 11 Kořeny rozdělí definiční obor na intervaly: I 1 = ( 7, 13), I 11 2 = ( 13,2). V každém intervalu 11 zvolíme jeden bod a zjistíme, zda je v něm splněna nerovnice: x 1 = 1 : log8 1, x 2 = 3 : 2 log17 > 1. Platnostčineplatnostnerovniceprox 1,x 2 jetotéž,cokladnost čizápornostfunkčníhodnoty x+7 f(x 1 ), f(x 2 ) funkce f(x) = log 1. Funkce f je spojitá na intervalech I 10 2 x 1, I 2, nemá na nich kořen, proto je záporná na I 1 a kladná na I 2 a řešením nerovnice tedy je interval 13,2). 11 Důsledek věty 4.3.34 o definičním oboru odmocnin a jiných inverzních funkcí. Druhá odmocnina z čísla a R je definována jako kořen rovnice x 2 = a. Protože tato rovnice má řešení jen pro a 0, je druhá odmocnina definována jen pro tato čísla. Pro a > 0 má rovnice kořeny dva a protože chceme, aby odmocnina byla funkce, musíme si vybrat jeden z nich. Definice odmocniny pak je: a je takové x 0, pro něž platí x 2 = a. Zde bychom rádi zpochybnili samozřejmost výše uvedeného tvrzení, že rovnice má kořen pro každé nezáporné a. Toto tvrzení neplatí, pokud místo s reálnými čísly pracujeme s čísly racionálními na oboru racionálních čísel neexistuje například odmocnina ze dvou. Existence 9
odmocniny je důsledek axiomu suprema. My tuto existenci ukážeme za použití věty 4.3.34 (která je důsledkem axiomu suprema). Funkce f : x x 2 je spojitá a rostoucí na intervalu 0,+ ). Abychom mohli použít větu o nabývání mezihodnot, zvolíme omezený interval 0,N, pak je f(i) = 0,N 2 a odtud plyne existence odmocniny pro každé a f(i). (Kreslete obrázek!) Nyní stačí ukázat, že ke každému a R existuje N > 0 takové, že a < N 2. Rozmyslete si, že pro a > 1 můžeme volit N = a a pro a 1 lze zvolit N = 2. V obou případech je a < N 2. Podobně se dá ukázat existence dalších odmocnin, logaritmů a různých arkussinů, -kosinů, -tangent a -kotangent. Je k tomu zapotřebí ukázat, že mocninné, exponenciální a goniometrické funkce jsou na svých definiřních oborech spojité. Poznámka: názvy vět jsou můj výtvor a jsem vedena snahou stručně označit, čeho se věta týká. 10